Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài xích giảng Bài 1: Hệ phương trình con đường tính sau đây để tìm hiểu về dạng màn trình diễn ma trận, giải hệ phương trình con đường tính bằng phương pháp Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình tuyến tính


1. Dạng biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng cách thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình con đường tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường vừa lòng tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến đường tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Khi đó, hệ phương trình trên hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) gọi là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) call là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình.X điện thoại tư vấn là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương trình đường tính bằng phương thức Gauss.


Một phương thức thông dụng để giải hệ phương trình đường tính là phương pháp Gauss, gửi ma trận hệ số không ngừng mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang hay lan can thu gọn, nhờ các phép đổi khác sơ cung cấp trên dòng.

Xem thêm: Chèo Quan Âm Thị Kính (Chèo Cổ, Quan Âm Thị Kính

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta bao gồm hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Như thế, hệ phương trình tất cả vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta bao gồm hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ gồm nghiệm tốt nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta gồm hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình con đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm vô số nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc đó, hệ phương trình có k ẩn chủ yếu ứng cùng với k bộ phận dẫn đầu và n - k ẩn từ bỏ do, được chuyển sang vế phải.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ tất cả vô số nghiệm cùng với 2 ẩn bao gồm ứng cùng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn thoải mái x3 ta gồm hệ phương trình có vô số nghiệm cùng với nghiệm bao quát là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương trình đường tính AX = B được call là hệ Cramer ví như A là ma trận vuông không suy thay đổi , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi đó, ta gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp của ma trận A khá bự thì vấn đề tìm(A^-1) tương thay đổi phức tạp. Rộng nữa, có khi ta chi nên tìm một vài ba ẩn (x_j) cố kỉnh vì tổng thể các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Tự đó, fan ta đưa ra công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào công thức (X = A^-1B) như sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận giành được từ A bằng phương pháp thay cột j bởi vì vế nên (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương trình con đường tính thuần nhất.


Hệ phương trình đường tính AX = 0 điện thoại tư vấn là hệ thuần nhất. Ngoại trừ các đặc thù chung của hệ AX = B, hệ thuần độc nhất vô nhị AX = 0 còn tồn tại các đặc thù riêng như sau :

Hệ luôn luôn luôn gồm nghiệm đều đều X = 0 (không tất cả trường hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, không suy đổi mới thì hệ bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm trung bình thường.Nếu hệ bao gồm vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không khí con của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một các đại lý của không gian nghiệm được gọi là 1 hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, yêu cầu hệ gồm nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.

link tải 567 live app | W88Vuive | tải app qqlive apk |

https://789betvi.co/